高数#

求导法则#

求导是研究函数性态的基础工具。四则运算法则是复合函数、隐函数求导的起点，商的求导法则在分式函数中使用频率最高，且有常用的逆用形式。

四则运算法则#

设 $u = u(x)$ 、 $v = v(x)$ 均可导，则：

$(u \pm v)' = u' \pm v'$

$(ku)' = ku' \quad (k \text{ 为常数})$

$(uv)' = u'v + uv'$

$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)$

Note

商的逆用：当分子为常数 $1$ 时， $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ 。这一形式在求 $\dfrac{1}{x}$ 、 $\dfrac{1}{\sin x}$ 、 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 等函数的导数时极为常用，直接套用可省去写商法则的麻烦。

Tip

公式逆用：看到 $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ ，应立刻意识到它是 $[f(x)g(x)]'$ ；看到 $f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$ ，应意识到它是 $\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'$ 的分子部分。这种”凑导数”的能力在求不定积分时同样关键。

基本导数公式#

以下公式需倒背如流，是所有求导运算的基础。

常数与幂函数

$C' = 0，\qquad x' = 1，\qquad (x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$

常用特例：

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}，\qquad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$

指数与对数函数

$(a^x)' = a^x \ln a，\qquad (e^x)' = e^x$

$(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}，\qquad (\ln x)' = \frac{1}{x}$

三角函数

$(\sin x)' = \cos x，\qquad (\cos x)' = -\sin x$

$(\tan x)' = \sec^2 x，\qquad (\cot x)' = -\csc^2 x$

$(\sec x)' = \sec x \tan x，\qquad (\csc x)' = -\csc x \cot x$

反三角函数

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}，\qquad (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}，\qquad (\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

函数的凹凸性#

凹凸性刻画曲线弯曲的方向。判定凹凸性只需考察二阶导数的符号，拐点则是凹凸性发生改变的分界点。

定义#

凹凸性有两种等价的刻画方式：弦法与切线法。

弦法定义 设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续。对 $I$ 上任意两点 $x_1 < x_2$ ，若曲线弧 $y = f(x)$ 位于连接 $(x_1, f(x_1))$ 与 $(x_2, f(x_2))$ 的弦的下方，则称曲线在 $I$ 上是凹的；若位于弦的上方，则称曲线是凸的。

等价地，用弦中点处函数值的大小比较：

$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \iff \text{凹}，\qquad f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \iff \text{凸}$

切线法定义 若曲线弧位于其上每一点处切线的上方，则称该段曲线是凹的（ $\cup$ 形）；若曲线弧位于其上每一点处切线的下方，则称该段曲线是凸的（ $\cap$ 形）。

直观上，凹曲线开口向上、托住所有切线；凸曲线开口向下、压住所有切线。

Warning

术语约定：此处采用同济《高等数学》的命名， $f''(x) > 0$ 的 $\cup$ 形曲线称为凹。数学分析教材与英文文献（convex / concave）的命名恰好相反， $f''(x) \ge 0$ 的函数称为凸函数。阅读其他教材时请先确认其约定。

二阶导符号	同济《高等数学》	数学分析 / 英文文献	图形
$f''(x) > 0$	凹	凸（convex）	$\cup$ 开口向上
$f''(x) < 0$	凸	凹（concave）	$\cap$ 开口向下

判定定理#

定理设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有一阶和二阶导数：

若在 $(a,b)$ 内 $f''(x) > 0$ ，则曲线 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的；
若在 $(a,b)$ 内 $f''(x) < 0$ ，则曲线 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的。

证明思路 任取 $x_1 < x_2$ ，记 $x_0 = \dfrac{x_1+x_2}{2}$ ， $h = x_0 - x_1 = x_2 - x_0$ 。分别在 $[x_1, x_0]$ 与 $[x_0, x_2]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (x_1, x_0)$ 、 $\xi_2 \in (x_0, x_2)$ ，使得

$f(x_0) - f(x_1) = f'(\xi_1)\, h，\qquad f(x_2) - f(x_0) = f'(\xi_2)\, h$

当 $f''(x) > 0$ 时 $f'$ 单调递增，而 $\xi_1 < \xi_2$ ，故 $f'(\xi_1) < f'(\xi_2)$ ，于是

$f(x_1) + f(x_2) - 2f(x_0) = h\big[ f'(\xi_2) - f'(\xi_1) \big] > 0$

即 $f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right) < \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ ，曲线是凹的。 $f''(x) < 0$ 的情形同理。

形象记忆： $f''(x) > 0 \implies + \implies \cup \implies$ 凹； $f''(x) < 0 \implies - \implies \cap \implies$ 凸。深层理解：凹曲线上切线斜率随 $x$ 增大而递增（斜率 $\uparrow$ ），即 $(y')' = y'' > 0$ ；凸曲线上切线斜率递减， $y'' < 0$ 。

拐点#

定义连续曲线上凹凸性发生改变的分界点称为拐点，拐点处切线穿过曲线。

Note

拐点必须用坐标 $(x_0, f(x_0))$ 表示，不能只写 $x = x_0$ 。

必要条件 若 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点且 $f''(x_0)$ 存在，则 $f''(x_0) = 0$ 。

Warning

常考：拐点可能存在于二阶导为 $0$ 的点，也可能存在于二阶导数不存在的点（只要函数在该点连续）。两类可疑点都必须逐一检验两侧 $f''$ 是否变号。

$f''(x_0) = 0$ 只是必要条件而非充分条件： $y = x^4$ 在 $x = 0$ 处有 $y'' = 0$ ，但两侧 $y'' > 0$ ，故 $(0,0)$ 不是拐点。

判别法

若 $f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧异号，则 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点；
若 $f''(x_0) = 0$ 且 $f'''(x_0) \neq 0$ ，则 $(x_0, f(x_0))$ 是拐点。

例 1 讨论 $y = x^3$ 的凹凸性。 $y'' = 6x$ ： $x < 0$ 时 $y'' < 0$ ，曲线凸； $x > 0$ 时 $y'' > 0$ ，曲线凹。 $f''(0) = 0$ 且 $f'''(0) = 6 \neq 0$ ，故 $(0,0)$ 是拐点。

例 2 讨论 $y = x^4 - 6x^2$ 的凹凸性与拐点。 $y'' = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1)$ ： $|x| < 1$ 时 $y'' < 0$ ，曲线凸； $|x| > 1$ 时 $y'' > 0$ ，曲线凹。故 $(\pm 1, -5)$ 为拐点。

例 3 讨论 $y = x^{1/3}(x+1) = x^{4/3} + x^{1/3}$ 的凹凸性与拐点（二阶导不存在处的拐点，常考题型）。

$y' = \frac{4}{3}x^{1/3} + \frac{1}{3}x^{-2/3}，\qquad y'' = \frac{4}{9}x^{-2/3} - \frac{2}{9}x^{-5/3} = \frac{2(2x-1)}{9x^{5/3}}$

可疑点： $y'' = 0$ 得 $x = \dfrac{1}{2}$ ； $y''$ 不存在的点为 $x = 0$ （函数在该点连续）。列表判别：

区间	$(-\infty,0)$	$0$	$\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$	$\dfrac{1}{2}$	$\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
$f''(x)$ 符号	$+$	不存在	$-$	$0$	$+$
凹凸性	凹	拐点	凸	拐点	凹

凹区间： $(-\infty,0] \cup \left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ ；凸区间： $\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$ 。拐点为 $(0,0)$ 与 $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3\sqrt[3]{4}}{4}\right)$ 。注意 $(0,0)$ 处 $f''(0)$ 不存在，但函数连续且两侧凹凸性改变，故仍为拐点。

渐近线#

当点沿曲线无限远离原点时，若曲线无限接近于某条定直线，该直线称为曲线的渐近线。渐近线分水平、垂直、斜三类，其存在性由相应的极限刻画。

以 $y = \dfrac{1}{x}$ 为例最直观： $x \to \infty$ 时曲线贴近平直直线 $y = 0$ （水平渐近线）， $x \to 0$ 时曲线贴近竖直直线 $x = 0$ （垂直渐近线），两条渐近线将第一象限的曲线弧”框”在直角内。

1
        │ y=0 (水平渐近线)
2
   ─────┼─────→
3
        │  ╲
4
        │   ╲  y=1/x
5
        │    ╲
6
  x=0   │     ╲
7
(垂直)  │

水平渐近线#

若 $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A$ 或 $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = A$ （ $A$ 为有限常数），则直线 $y = A$ 是曲线 $y = f(x)$ 的水平渐近线。

例 4 $y = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 1}$ ： $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x^2+1}{x^2-1} = 2$ ，水平渐近线 $y = 2$ 。

例 5 $y = \arctan x$ ： $\lim\limits_{x \to +\infty} = \dfrac{\pi}{2}$ ， $\lim\limits_{x \to -\infty} = -\dfrac{\pi}{2}$ ，有两条水平渐近线。

例 6 $f(x) = \dfrac{x^2+1}{2x}\sin\dfrac{1}{x}$ ，求水平渐近线。

令 $t = \dfrac{1}{x}$ ，当 $x \to \infty$ 时 $t \to 0$ ：

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{2x}\sin\frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{1+t^2}{2t}\sin t = \lim_{t \to 0} \frac{1+t^2}{2} \cdot \frac{\sin t}{t} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

故水平渐近线为 $y = \dfrac{1}{2}$ 。

垂直渐近线#

若 $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$ 或 $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$ ，则直线 $x = x_0$ 是垂直渐近线。 $x_0$ 通常是函数的无定义点（无穷间断点）。

例 7 $y = \dfrac{1}{x-1}$ ： $\lim\limits_{x \to 1^\pm} = \pm\infty$ ，垂直渐近线 $x = 1$ 。 $y = \tan x$ 在 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ （ $k \in \mathbb{Z}$ ）处也有垂直渐近线。

无定义点未必给出垂直渐近线： $y = \dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处极限为 $1$ （可去间断点），故 $x = 0$ 不是渐近线。

例 8 $y = \dfrac{x^2-3x+4}{x^2-5x+6}$ 的渐近线有几条？

先因式分解： $y = \dfrac{x^2-3x+4}{(x-2)(x-3)}$ 。

垂直渐近线： $x=2$ 处分子 $4-6+4=2\neq 0$ ， $\lim\limits_{x\to 2} = \infty$ ； $x=3$ 处分子 $9-9+4=4\neq 0$ ， $\lim\limits_{x\to 3} = \infty$ 。故 $x=2$ 、 $x=3$ 为垂直渐近线。
水平渐近线： $\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^2-3x+4}{x^2-5x+6} = 1$ ，故 $y=1$ 为水平渐近线。
水平渐近线已存在，同方向无斜渐近线。

共 $3$ 条渐近线。

斜渐近线#

若 $\lim\limits_{x \to +\infty} \big[ f(x) - (kx + b) \big] = 0$ （或 $x \to -\infty$ ），其中 $k \neq 0$ ，则 $y = kx + b$ 是斜渐近线。斜率与截距由极限确定：

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}，\qquad b = \lim_{x \to \infty} \big[ f(x) - kx \big]$

例 9 $y = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} = x + 3 + \dfrac{2}{x - 1}$ ：余项 $\dfrac{2}{x-1} \to 0$ ，故斜渐近线 $y = x + 3$ ，同时有垂直渐近线 $x = 1$ 。

例 10 $y = x + \dfrac{1}{x}$ ：斜渐近线 $y = x$ ，垂直渐近线 $x = 0$ 。

注若 $f(x) = kx + b + \alpha(x)$ 且 $\alpha(x) \to 0$ ，则 $y = kx + b$ 是斜渐近线；同一方向（同为 $x \to +\infty$ 或同为 $x \to -\infty$ ）上水平渐近线与斜渐近线不能同时存在。渐近线与曲线可以相交。

求渐近线的一般步骤#

找出函数的无定义点，逐个检查两侧极限，极限为无穷大则得垂直渐近线；
分别考察 $x \to +\infty$ 与 $x \to -\infty$ ：若 $\lim f(x)$ 为有限值，得水平渐近线；若极限不存在，再计算 $k$ 、 $b$ 尝试斜渐近线。

函数性态综合研究#

考试中的综合大题通常将”由渐近线确定参数”与”讨论凹凸性、拐点”结合考查。完整的函数性态研究步骤如下：

确定定义域、奇偶性、周期性，缩小研究范围；
求 $f'(x)$ ，确定单调区间与极值；
求 $f''(x)$ ，确定凹凸区间与拐点（注意检查 $f''$ 不存在的连续点）；
求渐近线；
求出关键点（与坐标轴的交点等），结合以上信息描图。

例 11 已知 $f(x) = \dfrac{ax^2+2x-1}{x^2+bx+1}$ ，且 $x = 1$ 、 $y = 0$ 为其渐近线。求：（1） $a$ ， $b$ ；（2）凹凸区间与拐点。

（1）确定参数： $x = 1$ 是垂直渐近线，说明分母在 $x = 1$ 处为 $0$ （分子在该处不为 $0$ ）：

$1^2 + b \cdot 1 + 1 = 0 \implies b = -2$

$y = 0$ 是水平渐近线，即 $\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = 0$ 。分子分母同次时极限为最高次系数之比 $a$ ，故 $a = 0$ （若 $a \neq 0$ ，水平渐近线应为 $y = a \neq 0$ ，矛盾）。

因此 $a = 0$ ， $b = -2$ ， $f(x) = \dfrac{2x-1}{(x-1)^2}$ 。

（2）凹凸性与拐点：定义域 $x \neq 1$ 。

$f'(x) = \frac{-2x}{(x-1)^3}，\qquad f''(x) = \frac{2(2x+1)}{(x-1)^4}$

可疑点： $f''(x) = 0$ 得 $x = -\dfrac{1}{2}$ ； $f''(x)$ 不存在的点 $x = 1$ 不在定义域内（为垂直渐近线），不参与拐点讨论。

区间	$\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)$	$-\dfrac{1}{2}$	$\left(-\dfrac{1}{2},1\right)$	$1$	$(1,+\infty)$
$f''(x)$ 符号	$-$	$0$	$+$	不存在	$+$
凹凸性	凸	拐点	凹	渐近线	凹

凹区间： $\left[-\dfrac{1}{2},1\right) \cup (1,+\infty)$ ；凸区间： $\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right]$ 。拐点为 $\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{8}{9}\right)$ 。

例 12 作 $y = f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 1}$ 的图像。

定义域与对称性： $x \neq \pm 1$ ； $f$ 为奇函数，只需考察 $x \ge 0$ 再关于原点对称。

渐近线： $x = \pm 1$ 为垂直渐近线（两侧极限均为无穷大）。将 $f$ 写成

$f(x) = x + \frac{x}{x^2 - 1}$

余项 $\dfrac{x}{x^2-1} \to 0$ ，故斜渐近线为 $y = x$ 。

单调性与极值：

$f'(x) = \frac{x^2 (x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2}$

驻点 $x = \pm \sqrt{3}$ ； $x = 0$ 处 $f'(0) = 0$ 但两侧不变号，不是极值点。在 $x \ge 0$ 上， $(0,1)$ 与 $(1,\sqrt{3})$ 内 $f' < 0$ ，递减； $(\sqrt{3}, +\infty)$ 内 $f' > 0$ ，递增。极小值 $f(\sqrt{3}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ 。

凹凸性与拐点：

$f''(x) = \frac{2x (x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^3}$

在 $x > 0$ 上， $(0,1)$ 内 $f'' < 0$ ，曲线凸； $(1, +\infty)$ 内 $f'' > 0$ ，曲线凹。 $f''(0) = 0$ 且两侧变号， $(0,0)$ 为拐点。由奇函数对称性， $(-1,0)$ 内凹、 $(-\infty,-1)$ 内凸。

关键点与图像：曲线过原点 $(0,0)$ ，且 $f(x) - x = \dfrac{x}{x^2-1}$ 在 $x > 1$ 时为正（曲线位于渐近线 $y = x$ 上方），在 $0 < x < 1$ 时为负（曲线位于其下方）。综合：在 $0 < x < 1$ 上，曲线凸且递减，自原点沿渐近线 $y = x$ 下方跌向 $-\infty$ （贴近 $x = 1$ ）；在 $1 < x < \sqrt{3}$ 上，曲线自 $+\infty$ 凸递减至极小值 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ ，随后凹递增，沿 $y = x$ 上方趋于 $+\infty$ 。左侧图形关于原点对称。

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